如何从仿射变换矩阵得到法线变换矩阵？
转换公式
设法线变换矩阵为 \mathbf{N}，仿射变换矩阵的线性部分(上左3x3)为 \mathbf{M}，它们之间的关系为：
\mathbf{N} = (\mathbf{M}^{-1})^{T} = (\mathbf{M}^{T})^{-1}
公式的推导
设平面法线为 \mathbf{n}，平面切向量为 \mathbf{v}。
法线的定义满足：
\mathbf{n}^T \cdot \mathbf{v} = 0
若有一个仿射变换矩阵的线性部分 \mathbf{M}（包括缩放和旋转变换） ，则平面切向量变换为：
\mathbf{v}' = \mathbf{M} \mathbf{v}
我们希望找到新的法线 \mathbf{n}'，使得变换后满足：
\mathbf{n}'^{T} \cdot \mathbf{v}' = 0
接下来，代入 \mathbf{v}' = \mathbf{M}\mathbf{v}，我们得到：
\mathbf{n}'^{T} \cdot \mathbf{M}\mathbf{v} = 0
又由于 \mathbf{n}^T \cdot \mathbf{v} = 0，如果对于任意 \mathbf{v} 都满足上两式，必须满足以下条件：
\mathbf{n}'^{T}\cdot\mathbf{M} = \mathbf{n}^{T}
转置一下得到：
\mathbf{M}^{T}\cdot \mathbf{n}'= \mathbf{n}
两边左乘 (\mathbf{M}^{T})^{-1}，得到转换公式：
\mathbf{n}'= (\mathbf{M}^{T})^{-1} \cdot \mathbf{n}
而对于任意可逆矩阵，其转置的逆和逆的转置相同。这样一来，文章开头的公式就推导完毕了。
特殊情况
如果一个仿射变换不包含非均匀缩放，（即缩放的三轴数值不同，例如，x=1.5, y=1, z=1），只是位移、旋转、均匀缩放的组合，那么不必额外计算 (\mathbf{M}^{T})^{-1}，因为 \mathbf{M}在这种情况下是正交矩阵。
我们知道旋转矩阵其实是正交矩阵，推导可以参见我之前的文章。而均匀缩放矩阵的线性部分则是单位矩阵的整数倍，这两种矩阵的乘积仍然是正交矩阵。而根据正交矩阵的定义，\mathbf{M}^{T} = \mathbf{M}^{-1}，可以得到 (\mathbf{M}^{T})^{-1}=\mathbf{M}。
因此，当你可以确定某个仿射变换不包含非均匀缩放，你可以直接截取仿射变换矩阵的正交部分乘入法线变换矩阵中。