旋转矩阵都是正交矩阵吗？
正交矩阵定义
一个实矩阵 R \in \mathbb{R}^{n \times n} 是一个正交矩阵，当且仅当满足：
R^T R = R R^T = I
而矩阵与其转置互为逆矩阵 ⇒ 行向量和列向量都构成标准正交基。这就是正交矩阵的名字由来。
以 R^TR=I 为例，
R = [\vec{r}_1\ \vec{r}_2\ \cdots\ \vec{r}_n]\\
R^T R =
\begin{bmatrix}
\vec{r}_1^T \\
\vec{r}_2^T \\
\vdots \\
\vec{r}_n^T
\end{bmatrix}
[\vec{r}_1\ \vec{r}_2\ \cdots\ \vec{r}_n]
=
\begin{bmatrix}
\vec{r}_1^T \vec{r}_1 & \vec{r}_1^T \vec{r}_2 & \cdots & \vec{r}_1^T \vec{r}_n \\
\vec{r}_2^T \vec{r}_1 & \vec{r}_2^T \vec{r}_2 & \cdots & \vec{r}_2^T \vec{r}_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\vec{r}_n^T \vec{r}_1 & \vec{r}_n^T \vec{r}_2 & \cdots & \vec{r}_n^T \vec{r}_n
\end{bmatrix}
如果 R^T R = I，则说明：
- 对角线元素 \vec{r}_i^T \vec{r}_i = \|\vec{r}_i\|^2 = 1，表示每个列向量是单位向量；
- 非对角线元素 \vec{r}_i^T \vec{r}_j = 0 \ (i \ne j)，表示任意两个不同列向量正交。
旋转矩阵一定是正交矩阵吗
答案是肯定的。这是由旋转变换的性质可以直接得出的结论。我们知道，当一个旋转变换应用于两个非零向量，它们的长度不变、相对夹角也不变，因此，它们的点积也不变。
两个向量的点积可以表示为：
\vec{u}^T\vec{v}
根据上面的结论，我们可以得出：
\vec{u}^T\vec{v}=(R\vec{u})^T(R\vec{v})=\vec{u}^TR^TR\vec{v}\\
R^TR=I
因此，旋转矩阵一定是正交矩阵。